O njegovom privatnom životu ne zna se puno, poglavito zato što Plenković živi smirenim obiteljskim životom. Uz devet i pol godina mlađu suprugu Anu skrasio se i postao otac prije nešto manje od dvije godine, prenosi Dnevnik hr. Njegovi prijatelji pričali su da je slovio za velikog šarmera u Ministarstvu vanjskih poslova.

Dugo je, kažu, tražio onu pravu, sve dok se nije skrasio uz Anu Maslać Plenković, mladu Dubrovkinju, voditeljicu saborske Službe za pravne poslove i ljudske potencijale. Upoznali su ih zajednički prijatelji dok je Plenković bio saborski zastupnik. Ljubav su brakom okrunili u listopadu 2014, a dva mjeseca kasnije rodio im se sin Mario, koji je ime dobio po djedu.

Plenkovićevi roditelji podrijetlom su Dalmatinci, pa je podjednako vezan uz oba područja, a ljeta rado provodi u Jelsi na Hvaru. Za Dnevnik Nove TV u intervjuu je, ovaj zagrebački Dalmatinac, otkrio i kako je podjednako vezan i uz Dalmaciju i uz Zagreb. 'To je nekakav miks. Do škole sam živio u Makarskoj, a ostalo vrijeme u Zagrebu, tako da sam jako vezan i uz Dalmaciju i uz Zagreb', otkrio je tada Andrej, piše Dnevnik hr.